超难数列综合题目

已知{an}是公差为d的等差数列， {bn}是公比为q的等比数列。

若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明。

an=4n+1，bn=3^n，n∈N+

设a(m+1)+a(m+2)+……+a(m+p)=bk=3^k，p、k∈N+，m∈N

[4(m+1)+1+4(m+p)+1]p/2=3^k

∴4m+2p+3+3^k/p

∵p、k∈N+

∴p=3^s，s∈N

取k=3s+2，4m=3^(2s+2)-2×3^s-3=(4-1)^(2s+2)-2×(4-1)^s-3≥0

由二项展开式可得整数M1、M2

使得(4-1)^(2s+2)=4M1+1

2×(4-1)^s=8M2+(-1)^s2

∴4m=4(M1-2M2)-[(-1)^s+1]2

∴存在整数m满足要求。

∴当且仅当p=3^s，s∈N时，命题成立。

这么难的题目，怎么不弄点奖励啊？呵呵