计算曲线积分∮Lydx?xdy2(x2+y2)其中L为圆周（x-1）2+y2=4，L的方向为逆时针方向

计算曲线积分∮Lydx?xdy2(x2+y2)其中L为圆周（x-1）2+y2=4，L的方向为逆时针方向．

解：把圆的方程x²+y²=1改写成参数方程：x=cost，y=sint，dx=-sintdt，dy=costdt
S=(1/2)∮xdy-ydx
=(1/2)∫‹0，2π›(cos²t+sin²t)dt
=(1/2)∫‹0，2π›dt
=(1/2)t︱‹0，2π›
=π 故∮xdy-ydx
=2π
扩展资料
曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。
对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。
曲线积分分为：
（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）
（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）

设P＝ y 2(x2+y2) ，Q＝ ?x 2(x2+y2) ，  则 ?P ?y ＝ x2?y2 2(x2+y2)2 ＝ ?Q ?x ，(x2+y2≠0) 作圆周l：x2+y2＝ 1 2 ，取逆时针方向， 对L和l所围的区域应用格林公式： ∮ L ydx?xdy 2(x2+y2) ? ∮ l ydx?xdy 2(x2+y2) ＝0 于是 ∮ L ydx?xdy 2(x2+y2) ＝ ∮ l ydx?xdy 2(x2+y2) ＝ ∮ l ydx?xdy 设D为l所围区域，由格林公式 ∮ l ydx?xdy= ∫∫ D (?2)dxdy＝?π ∴ ∮ L ydx?xdy 2(x2+y2) ＝?π

∵x2+x＜0， ∴0＜x2＜-x， ∴x＜0， ∴x＜x2＜-x 故选d．

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