帮忙看个高二数学题，关于抛物线的，答案是√2-1

帮忙看个高二数学题，关于抛物线的，答案是√2-1

因为被求助了所以还是答了。看了之前你们的讨论，我觉得这题可以这么理解：

首先你联立方程得到了
b²x² + a²px - a²b² = 0(*)
这个方程是对的。对于方程(*)的每一个根x，对应着两个点y和-y都在抛物线和椭圆上（可以代入y² = 2px求解）。由于二次方程(*)有两个根x1,x2，所以我们可以求出有四个点(x1,y1),(x1,-y1),(x2,y2),(x2,-y2)是抛物线和椭圆上。
但实际上二者只有两个交点，就是x1 = p对应的两个交点(x1,y1)(x1,-y1)（注意到p是方程(*)的根），这其实是因为我们只看到了实交点，请看下面的分析。

从代数几何的角度，两条二次曲线永远有四个“交点”，但我们要求在复数中考虑方程的解。像在上面的情况，如果x1 = p，那么x2 < 0，解出来的y2是一个虚数。而你在实平面是不一定能看到这些复交点的。另一方面，上面方程(*)的每个解x都代表了两条二次曲线的两个交点，而一般情况下用韦达定理是默认一个x对应一个交点（想想直线与二次曲线相交的情形，有且仅有两个交点）,x和y之间有一一对应的关系。而题目中要求是某两个特定的实交点AB的连线，它们对应着(*)的同一个解，韦达定理就失效了。（事实上两条二次曲线相交是不能用韦达定理的，因为如果x和y一一对应，那么无论是x还是y都应该是一个四次方程的解。即便你真的在实平面上只看到两个交点（比如把上面的抛物线稍稍偏转一下）——对于一个四次方程，你怎么通过韦达定理把某两个根的信息给表达出来呢？）

所以，由于可能出现的复交点，在考虑这种问题时一定要从图像出发，否则就会犯错。
比如说有这种题：
a,b取何值时，(x-a)² + y² = b²与y² = x只有一个交点？来自：求助得到的回答

画图可得两坐标之和为p 你怎么画出来的？

重新思考了一下，问题的关键在于b²x²+a²2px-a²b²=0
新的抛物线y=b²x²+a²2px-a²b²与x轴有两个交点，由韦达定理得两坐标和为-b²/a²2p，两个交点中X1，X2中其中有一个是题中所述的抛物线与椭圆的交点的横坐标，
本题中所述的抛物线与椭圆的交点的横坐标是已知的了过焦点，x=p/2，不是变量，也不是关于x的二次函数了，所以出现了明显的错误-b²/a²2p=p
b，a，p都是大于0的，等式如何成立？？据此错误等式计算的e必然错误追问我当然知道这个做法是错的 我要问的是这个解法为什么不能使用，而且你说的X1 X2的坐标都是p/2,并且题中说“两直线的公共点连线AB过点F”，你何来其中一个是焦点横坐标。另外b²x²+a²2px-a²b²=0是关于x的二次函数，你怎么说“x=p/2，不是变量” 望你回答的再精确一些追答你说的对，似乎没有表达清楚，又研究了一下
y=b²x²+a²2px-a²b²与x轴有两个交点，X1,X2，X1X2=-a²<0这两个交点必然是一正一负，不妨设X1>0，那么存在X1=p/2，另一个负数根不符合题意舍去了。那么也就说明X2,不是抛物线与椭圆交点的横坐标。所以不存在由韦达定理得两坐标和为-b²/a²2p=p。
你看这个说的通吗追问画图可得两横坐标相同的啊 不信你画画看 都为p/2追答两个横坐标是相同，按我上述所说，两个交点的坐标形式为（X1,Y），（X1,-Y），请你注意
是X1+X1=P,而不是X1+X2=P
你可以这样理解，假如把抛物线y²=2px(p>0换成x²+y²=r²且圆与x²／a²+y²／b²=1（a>b>0）有四个交点，那么方程组有四组解，依照对称性，关于x的一元二次方程有二组解，此时存在X1+X2=0韦达定理，方程组解的形式为（X1,Y）,（X1,-Y）,（-X1,Y）,（-X1,-Y）,
而抛物线抛物线y²=2px(p>0与椭圆x²／a²+y²／b²=1（a>b>0）只有两个交点，方程b²x²+a²2px-a²b²=0两个根中的正根X1为两个交点的横坐标，另外一个负数根没有意义，韦达定理X1+X2=-b²/a²2p成立而不是X1+X1=-b²/a²2p
只能给解释到这里，再不懂我就无语了。

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