定积分∫1-0 ln(1+x)/(1+x^2)dx

定积分∫1-0 ln(1+x)/(1+x^2)dx

∫[ln(1+x)/(1+x²)]dx=∫[ln(1+tanz)/(1+tan²z)]*sec²zdz (令x=tanz)
=∫ln(1+sinz/cosz)dz
=∫ln[(sinz+cosz)/cosz]dz
=∫[ln(sinz+cosz)-ln(cosz)]dz
=∫ln(sinz+cosz)dz-∫ln(cosz)dz
=∫ln[√2sin(z+π/4)]dz-∫ln(cosz)dz
=∫ln(√2)dz+∫ln[sin(z+π/4)]dz-∫ln(cosz)dz
=(π/4)ln(√2)+∫ln[sin(π/2-y)]d(-y)-∫ln(cosz)dz
(在第二个积分中,令z=π/4-y)
=πln2/8+∫ln(cosy)dy-∫ln(cosz)dz
=πln2/8+∫ln(cosz)dz-∫ln(cosz)dz
(在第一个积分中,令z=y)
=πln2/8

我学会了

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