怎么证明质数有无限多

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解决时间 2021-03-17 06:49

提问者网友：爱了却不能说
2021-03-17 01:45

怎么证明质数有无限多

最佳答案

五星知识达人网友：一秋
2021-03-17 02:10

假设质数有限
则必然存在一个最大的
假设最大质数是p
则令N=2*3*5*7*……*p+1
即把所有质数相乘再加上1
则显然N>p
所以N是合数
则N至少能被一个质数整除
单数,用2,3,5,……,p去除N
结果都余1
所以N或者是质数,或者拥有大于p的质因数
但这都和p是最大质数矛盾
所以假设错误
所以质数又无数个
所以质数集是无限集

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1楼网友：duile
2021-03-17 04:04

欧几里得质数无穷性的严格证明：
假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，记集合A={p1,p2,…pn}；则pn为最大的素数；
设 N = p1 × p2 × …… × pn，那么，N+1>pn，因为pn为最大的素数，因此N+1为合数。
因为任何一个合数都可以唯一分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以N+1不可能被p1，p2，……，pn整除，集合A中没有N+1的素因子，即N+1的素因子必然大于pn，这与“pn为最大的素数”假设相矛盾。
综上，假设不成立，因此质数有无穷个。

2楼网友：人间朝暮
2021-03-17 02:52

常见的有反证法，假定有有限个素数，设最大的素数为N，令P=N！+1，显然从任意的 N内的素数均不能整除P，由素数定义知显然P为素数，这与N为最大素数矛盾，因为P>N，则知素数有无穷多个。
另外还有欧拉乘积证明。

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