初中不等式的竞赛题

不等式(2a-b)x+3a-4b<0de 解集是x>4/9,则不等式(a-4b)x+2a-3b>0的解集是什么？

解：由题可知：（2a-b)*4/9+3a-4b=0,并且由于不等号方向改变，可知2a<b,化简刚才的式子得：7a=8b,令a=8t,b=7t，t<0，则化简(a-4b)x+2a-3b>0可得-20tx-5tx>0,解得x>-1/4.

有什么问题可以问我哈~

(2a-b)x+3a-4b<0得x＞（3a-4b)/(2a-b),因其解集为x>4/9，所以（3a-4b)/(2a-b)=4/9，a=32b/19 解不等式(a-4b)x+2a-3b>0得x＞（3b-2a)/(a-4b),把a=32b/19代入前式得x＞7/44.

其实这题目很锻炼思维的,下面是我的解答,大家看看对不对。(看图片,文字是latex代码) 由于对于任意$x,y,z \ge 0$,有$(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$. 把$x=bc,y=ca,z=ab$代入得到,$(bc+ca+ab)^2 \ge 3abc(a+b+c)=9abc$,所以$ab+bc+ca \ge 3\sqrt{abc}$ 所以由平均值不等式得到, \[\sqrt[3]{9abc(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt[3]{3\sqrt{abc} \cdot 3\sqrt{abc}(a^2+b^2+c^2)} \] \[\le \frac{3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+a^2+b^2+c^2}{3}\le \frac{2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2}{3}=3\]. 从而证明了$abc(a^2+b^2+c^2)\le 3$.即所需的不等式.

解：(2a-b)x+3a-4b<0可得：(2a-b)x<4b-3a……………………（1） 由于其解集为x>4/9，所以：（1）式中2a-b<0成立。我们将（1）式两边同除以2a-b得到下式： x>(4b-3a)/(2a-b) ………………………………………………（2） 对比其解集为x>4/9，得到(4b-3a)/(2a-b)=4/9 ………………………… (3) 将（3）式化简：b=7a/8 …………………………………………………………（4） 将（4）式结果带入不等式(a-4b)x+2a-3b>0左边，可得下式： ax<-a/4 ……………………………………………………………………（5） 现在的问题就是a究竟大于零还是小于零？ 由于2a-b<0，我们将(4)式带入，不等式左边得到9a/8，要使9a/8<0成立，则必有a<0成立。 则：（5）式两边同乘以1/a，不等式两边要变号，得到：x>-1/4. 则不等式的解集为：x>-1/4

解：(2a-b)x+3a-4b<0→(2a-b)x＜4b-3a因为已知x>4/9，所以2a-b＜0， 这样不等式两边同时除以2a-b，得x＞(4b-3a)/(2a-b) 所以可得：2a-b＜0即b＞2a 和(4b-3a)/(2a-b)=4/9→a=8b/7 必须满足以上两个条件即b＞2a=16b/7 所以可得a＜0，b＜0，a=8b/7 不等式(a-4b)x+2a-3b>0中，a-4b=8b/7-4b=-20b/7＞0 所以不等式化简为x＞(3b-2a)/(a-4b)=(3b-16b/7)/(8b/7-4b)=-1/4 不等式(a-4b)x+2a-3b>0的解集:x＞-1/4

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