一道直线与抛物线的题..

过点(0,4),斜率为-1的直线与抛物线y²=2px (p>0)交于 A、B两点,如果OA⊥OB,求p的值及抛物线的焦点坐标.

PS:我要过程啊...

求得AB直线 设AB直线为y=-x+b 把（0，4）代入

b=4

AB直线方程为y=-x+4 设A(x1,y1) B(x2,y2) OA⊥OB

向量OA*向量OB=0 x1x2+y1y2=0

y=-x+4 y²=2px 联立求解

消去x y^2+2py-8p=0 y1y2=-8p x1x2 =16

16-8p=0 p=2 y^2=4x

抛物线的焦点坐标(1,0)

易知直线方程为：y=-x+4

设交点A(x1,-x1+4),B(x2,-x2+4)则有：

(-x1+4)^2=2px1 [1]

(-x2+4)^2=2px2 [2]

将[1][2]式作除，可得x2(-x1+4)^2=x1(-x2+4)^2 进而可得(x1-x2)(x1x2-16)=0 x1是不可能等于x2的，因为直线不是垂直于X轴的，所以有x1x2=16. [3]

OA=(x1,-x1+4) OB=(x2,-x2+4) 因为OA与OB垂直，所以

OA*OB=x1x2+(4-x1)(4-x2)=0 可得x1x2-2(x1+x2)+8=0 [4]

把[3]代入[4]可求得x1=6+2sqr(5) ,x2=6-2sqr(5) sqr()表示平方根

现在把x1或x2代入[1]或[2]即可求得P了，焦点坐标就是（p/2,o）

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