数学竞赛题！！

如图，在三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，MN垂直平分AB，求证CM=2BM（步骤要全）

过A作AD//MN交BC于D

∵BN=NA

∴MN=1/2 AD,BM=MD

∵角B=30°

∴AD=1/2 BD

∴AD=BM=MD

∵∠C=∠CAD=30°

∴AD=DC

∴BM=MD=DC

∴CM=2BM

连接AM，

MN垂直平分AB，

AMB为等腰三角形，

AM=BM,

因为AB=AC,∠BAC=120,

所以∠B=∠C=30,

所以∠MAB=∠B=30，

所以∠CAM=90,又因为∠C=30

AM=1/2CM,

又因为AM=BM,

所以CM=2BM

连接AM

MN垂直平分AB—>三角形BNM≌三角形AMN—>BM=AM，∠MAC=90',∠C=30'—>2AM=CM—>CM=2BM

过A作AD//MN交BC于D

因为BN=NA 所以MN=1/2 AD,BM=MD

角B=30° 所以AD=1/2 BD

所以AD=BM=MD

因为角C=角CAD=30°

所以AD=DC

所以BM=MD=DC

所以CM=2BM

由于<BAC=120,AB=AC，所以<ABC=<ACB=30。连接AM，又MN垂直平分AB，所以AM=MB，所以<MBA=<MAB=30，所以<CAM=120-30=90，在三角形AMC中，直角三角形30度所对的边等于斜边的一半，所以CM=2AM，又AM=MB，所以CM=2BM

连接ma

三角形ｂｍａ是等腰三角形

而三角形ｃｍａ是一个角为３０度的直角三角形

这种三角形斜边＝２短直角边

过程自己看一下

如图示：连接AM

因为AB=AC,角BAC=120°

所以角B=角C=30°

在三角形BNM和三角形ANM中

因为角BNM=角ANM=90°

MN=MN,BN=AN

所以是三角形BNM全等三角形ANM(SAS)

所以AM=BM，角B=角NAM=30°

所以角MAC=90°

所以在直角三角形ACM中

因为角C=30°

所以CM=2AM=2BM