斜率为1的直线与抛物线y^2=2x 相交于A， B 两点 若 |AB|=4 则 直线l的方程为

斜率为1的直线与抛物线y^2=2x 相交于A， B 两点 若 |AB|=4 则 直线l的方程为

设直线l的方程为y = x +b
代入y²=2x: x² + 2bx + b² = 2x
x² + 2(b-1)x + b² = 0
x = 1-b ±√(1-2b), y = 1 ±√(1-2b)
A(1-b +√(1-2b), 1 +√(1-2b))
B(1-b -√(1-2b), 1 -√(1-2b))
|AB|² = [2√(1-2b)]²  + [2√(1-2b)]² = 8(1-2b) = 16
b = -1/2
y = x -1/2

直线与圆锥曲线的交径长公式： 直线方程f(x)=kx+b，圆锥曲线方程f(x，y)， 联立去掉y，得到一个关于x的一元二次方程， 若该方程有两不等实根，则 交径长d=|x1-x2|√(k²+1) 利用上述公式，易知联立方程为：x²+(2b-4)x+b²=0， 则|x1-x2|=√((x1+x2)²-4x1x2)=√((2b-4)²-4b²)， 则d=√((2b-4)²-4b²)√(1²+1)=4，化简解得b=-1/2， 即y=x-(1/2)

由题意可得直线l得方程为y= 4 3 (x-2) 联立方程 y= 4 3 (x-2) y 2 =2x 8x 2 -41x+32=0 设a（x 1 ，y 1 ）b（x 2 ，y 2 ）m（x 0 ，y 0 ），则 x 1 + x 2 = 41 8 ， x 1 x 2 =4 ， y 1 + y 2 = 4 3 ( x 1 + x 2 -4) = 3 2 （1） x 0 = x 1 + x 2 2 = 41 16 ， y 0 = y 1 + y 2 2 = 3 4 p，m两点间的距离pm= ( 2- 41 16 ) 2 +( 0- 3 4 ) 2 = 15 16 （2）由（1）可得m点的坐标 ( 41 16 ， 3 4 ) （3） ab= ( x 1 - x 2 ) 2 +( y 1 - y 2 ) 2 = ( 1+ 16 9 )[ (x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 ] = 25 9 ( 41 2 64 -16 ) = 5 8 73

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