正项数列{an}的前n项和Sn满足:Sn^2-(n^2+n-1)Sn-(n^2+n)=0

求数列的通项公式an
令bn=n+1/（n+2）^2*an^2，数列的前n项和为Tn，证明对任意的数，都有Tn<5/64

Sn^2-(n^2+n-1)Sn-(n^2+n)=0
[Sn+1][Sn-(n^2+n)]=0
∵an>0
∴Sn+1≠0
∴Sn=n^2+n
a1=S1=2
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=2n
∴{an}的通项公式为an=2n

bn=（n+1)/[(n+2)^2(an)^2]
=(n+1)/[4n^2(n+2)^2]
=1/16[1/n^2-1/(n+2)^2]
Tn=1/16[1-1/9+1/4-1/16+1/9-1/25+......+1/(n-1)^2-1/(n+1)^2+1/n^2-1/(n+2)^2]
=1/16[1+1/4-1/(n+1)^2-1/(n+2)^2]
=1/16*[5/4-1/(n+1)^2-1/(n+2)^2]
<1/16*5/4=5/64

解 sn^2-(n^2+n-1)sn-(n^2+n)=0 化简得 (sn-n(n+1))(sn+1)=0 sn=n(n+1) (负值舍去)， 当n=1时，a1=s1=2 当n>1时，an=sn-s(n-1)=n(n+1)-n(n-1)=2n 把a1=2，带入an=2n验证,则可以合并得 数列{an}的通项公式 an=2n

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