1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+……+1/(1+2+3+……+99)
答案:2 悬赏:60 手机版
解决时间 2021-01-28 22:21
- 提问者网友：佞臣
- 2021-01-28 12:39
1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+……+1/(1+2+3+……+99)
最佳答案
- 五星知识达人网友：深街酒徒
- 2021-01-28 12:46
1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+…+1/(1+2+3+…+98)+1/(1+2+3+…+99)
=1/[（1+2）*2/2]+1/[（1+3）*3/2]+1/[(1+4)*4/2]+……+1/[（1+99）*99/2]
=2/(2*3)+2/(3*4)+2/4*5+……+2/（100*99）
=[1/2*3+1/3*4+1/4*5+......+1/99*100]*2
=（1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/99-1/100）*2
=(1/2-1/100)*2
=49/100*2
=49/50
原因：1/(1+2)=2*(1/2-1/3)
1/(1+2+3)=2*(1/3-1/4)
1/(1+2+3+4)=2*(1/4-1/5)
………………………………
1/(1+2+……+k)=2*【1/k-1/(1+k)】
…………………
1/（1+2+3+...+99）=2*（1/99-1/100)
1/（1+2）+1/（1+2+3）+1/（1+2+3+4）+......+1/（1+2+3+...+99)=2*（1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/k-1/(1+k）+……+1/99-1/100）=2*（1/2-1/100)=49/50=0.98
=1/[（1+2）*2/2]+1/[（1+3）*3/2]+1/[(1+4)*4/2]+……+1/[（1+99）*99/2]
=2/(2*3)+2/(3*4)+2/4*5+……+2/（100*99）
=[1/2*3+1/3*4+1/4*5+......+1/99*100]*2
=（1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/99-1/100）*2
=(1/2-1/100)*2
=49/100*2
=49/50
原因：1/(1+2)=2*(1/2-1/3)
1/(1+2+3)=2*(1/3-1/4)
1/(1+2+3+4)=2*(1/4-1/5)
………………………………
1/(1+2+……+k)=2*【1/k-1/(1+k)】
…………………
1/（1+2+3+...+99）=2*（1/99-1/100)
1/（1+2）+1/（1+2+3）+1/（1+2+3+4）+......+1/（1+2+3+...+99)=2*（1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/k-1/(1+k）+……+1/99-1/100）=2*（1/2-1/100)=49/50=0.98
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- 1楼网友：天凉才是好个秋
- 2021-01-28 13:14
这里用到的裂项相消法
因为1+2+3+..+n=n(n+1)/2
所以[1/（1+2+3+…+n)]=2/n(n+1)=2[1/n-1/(n+1)]
所以sn=1+[1/(1+2)]+〔1/(1+2+3)〕+[1/(1+2+3+4)]+……+[1/(1+2+3+……+n)]
=2[1/1-1/2]+2[1/2-1/3]+2[1/3-1/4]+...+2[1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]=2n/(n+1)
因为1+2+3+..+n=n(n+1)/2
所以[1/（1+2+3+…+n)]=2/n(n+1)=2[1/n-1/(n+1)]
所以sn=1+[1/(1+2)]+〔1/(1+2+3)〕+[1/(1+2+3+4)]+……+[1/(1+2+3+……+n)]
=2[1/1-1/2]+2[1/2-1/3]+2[1/3-1/4]+...+2[1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]=2n/(n+1)
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