用正交变换化简二次型与正交相似对角化有什么区别？？

用正交变换化简二次型与正交相似对角化有什么区别？？

用正交变换化简二次型与正交相似对角化有什么区别？
答：n元二次型化标准形，具体解题步骤：
1、写出二次型矩阵A
2、求矩阵A的特征值（λ1，λ2，...，λn）
3、求矩阵A的特征向量（α1，α2，...，αn）
4、改造特征向量(单位化、Schmidt正交化)γ1，γ2，...，γn
5、构造正交矩阵P=(γ1，γ2，...，γn)
则经过坐标变换x=Py，得
xTAx=yTBy=λ1y1²+λ2y2²+...+λnyn²

相似对角化，具体解题步骤：
1、求矩阵A的特征值 （λ1，λ2，...，λs，设λi是ni重根）
2、求矩阵A的每一个特征值λi，求(λiE-A)x=0的基础解系（设为Xi1，Xi2，...，Xini）
（上面两步来判断A是否可以对角化）
3、构造P=(X11，X12，...，X1n1，X21，X22，...，X2n2，...，Xs1，Xs2，...，Xsns)，则
P-1AP=diag(λ1，...，λ1，λ2，...，λ2，...，λs，...，λs)
其中有ni个λi（i=1，2，...，s）

显然易知二者的区别。
都是先求特征值，再特征向量。

n元二次型化标准形，具体解题步骤：
1、写出二次型矩阵A
2、求矩阵A的特征值（λ1，λ2，...，λn）
3、求矩阵A的特征向量（α1，α2，...，αn）
4、改造特征向量(单位化、Schmidt正交化)γ1，γ2，...，γn
5、构造正交矩阵P=(γ1，γ2，...，γn)
则经过坐标变换x=Py，得
xTAx=yTBy=λ1y1²+λ2y2²+...+λnyn²

相似对角化，具体解题步骤：
1、求矩阵A的特征值 （λ1，λ2，...，λs，设λi是ni重根）
2、求矩阵A的每一个特征值λi，求(λiE-A)x=0的基础解系（设为Xi1，Xi2，...，Xini）
（上面两步来判断A是否可以对角化）
3、构造P=(X11，X12，...，X1n1，X21，X22，...，X2n2，...，Xs1，Xs2，...，Xsns)，则
P-1AP=diag(λ1，...，λ1，λ2，...，λ2，...，λs，...，λs)
其中有ni个λi（i=1，2，...，s）

显然易知二者的区别。
都是先求特征值，再特征向量。
正交变换，需要改造特征向量，使其满足正交化的特征。
相似对角化可以直接用特征向量，对于实对称矩阵相似的正交矩阵，则过程一样。

实际上二次型是实对称矩阵 ！！！
二次型的正交化就是实对称矩阵用正交矩阵把实对称矩阵化为对角矩阵的过程。
它是一种特殊矩阵的相似化过程。

newmanhero 2015年6月12日22:07:56

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