在三角形ABC中BC=a，CA=b，AB=c，若9a^2+9b^2-19c^2=0,试求

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解决时间 2021-05-01 22:21

提问者网友：山高云阔
2021-04-30 21:40

cotC/cotA+cotB的值

最佳答案

五星知识达人网友：孤独的牧羊人
2021-04-30 22:12

cotC/(cotA+cotB)
=cosC/[sinC*[(cosA/sinA)+(cosB/sinB)] //(cot=cos/sin)
=(a^2+b^2-c^2)/[2*a*b*sinC*[(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c*sinA)+2*a*b*(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c*sinB)]    //(在三角形中cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c) 余弦定理   )
=(a^2+b^2-c^2)/[2*a*b*(sinC/sinA)*(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)+2*a*b*(sinC/sinB)*(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)]    //(化进去）
=(a^2+b^2-c^2)/[2*a*b*(c/a)*(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)+2*a*b*(c/b)*(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)]    //(三角形中sinA/sinB=a/b 正弦定理)
=(a^2+b^2-c^2)/[2*a*b*(b^2+c^2-a^2)/(2*b*a)+2*a*b*(a^2+c^2-b^2)/(2*a*b)]    //（化简）
=(a^2+b^2-c^2)/[2*a*b*(b^2+c^2-a^2)+2*a*b*(a^2+c^2-b^2)]/(2*a*b)]    //（化简）
=(a^2+b^2-c^2)/[2*a*b*(2*c^2)/(2*a*b)]    //（化简）
=(a^2+b^2-c^2)/(2*c^2)    //（化简）
=(a^2+b^2-2*c^2+c^2)/(2*c^2)    //（化一下）
=[（1/9）*9*（a^2+b^2-2*c^2）+c^2]/(2*c^2)   //（再化一下）
=[（1/9）*（9a^2+9b^2-18c^2）+c^2]/(2*c^2) //（再化一下）
因为9a^2+9b^2-19c^2=0
所以9a^2+9b^2-18c^2=c^2
所以cotC/(cotA+cotB)=[（1/9）*c^2+c^2]/(2*c^2)=[(10/9)*c^2]/(2*c^2)=5/9
所以cotC/(cotA+cotB)的值是5/9

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