已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 2 ，且经过点M（4，1），直线

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 2 ，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范围；（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

（Ⅰ）设椭圆的方程为
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1 ，
∵椭圆的离心率为 e=



3
2 ，
∴a 2 =4b 2 ，
又∵M（4，1），
∴
16
a 2 +
1
b 2 =1 ，解得b 2 =5，a 2 =20，故椭圆方程为
x 2
20 +
y 2
5 =1 ．…（4分）
（Ⅱ）将y=x+m代入
x 2
20 +
y 2
5 =1 并整理得
5x 2 +8mx+4m 2 -20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B
∴△=（8m） 2 -20（4m 2 -20）＞0，解得-5＜m＜5．…（7分）
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k 1 和k 2 ，只要证明k 1 +k 2 =0．
设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），
根据（Ⅱ）中的方程，利用根与系数的关系得： x 1 + x 2 =-
8m
5 ， x 1 x 2 =
4 m 2 -20
5 ．
k 1 + k 2 =
y 1 -1
x 1 -4 +
y 2 -1
x 2 -4 =
( y 1 -1)( x 2 -4)+( y 2 -1)( x 1 -4)
( x 1 -4)( x 2 -4)
上式的分子=（x 1 +m-1）（x 2 -4）+（x 2 +m-1）（x 1 -4）
=2x 1 x 2 +（m-5）（x 1 +x 2 ）-8（m-1）
=
2(4 m 2 -20)
5 -
8m(m-5)
5 -8(m-1)=0
所以k 1 +k 2 =0，得直线MA，MB的倾斜角互补
∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．…（12分）

1)  设椭圆 x^2/a^2 +y^2/b^2=1   ,e=c/a  ,c^2/a^2=3/4  -----  1- b^2/a^2=3/4  -------  b^2= 1/4 a^2      于是椭圆x^2/a^2+4y^2/a^2=1  点m（4，1）代入得  a^2=20    ,b^2=5       于是椭圆 方程 x^2/20+y^2/5 =1         2)    直线l；y=x+m代入椭圆  得  5x^2 +8mx+4m^2-20=0                 判别式 ＞0 ，即  64m^2-80m^2+400＞0,   m^2＜25  ,得      -5＜m＜5  3)       求证；直线ma、mb与x轴围成一个等腰三角形 ?                      

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