代数学的符号代数

代数学的符号代数

最终确立是由法国数学家韦达完成的。他的《分析术入门》被西方数学史家推崇为第一部符号代数学。在本书中，他自觉地、系统地运用字母代替数字，用辅音字母表示已知数，用元音字母表示未知数。韦达还明确指出代数与算术的区别，前者是“类的算术”（施行于事物的类和形式的运算），后者是“数的算术”。于是代数学更带有普遍性，形式更抽象，应用更广泛。在稍后的工作里，韦达改进了三次、四次方程的解法。他还对n二2，3的情形，建立了方程的根与系数之间的关系，即现在被称为韦达定理的结果。后来笛卡儿改进了韦达创造的符号系统，用a，b，c，…表示已知量，x，y，z，…表示未知量。当代所使用的大多数代数符号到17世纪中叶已基本确立。
17－18世纪中期，代数学被理解为在代数符号上进行计算的科学，用来研究与解方程有关的问题。这个时期最好的教科书之一是欧拉的《代数学入门》（1770），其内容包括整数、分数和小数、方根、对数、一次到四次代数方程、级数、牛顿二项式和丢番图分析等，是对16世纪中期发展起来的符号代数学的系统总结。
18世纪对代数学的研究时常要服从分析学的需要，许多人甚至把分析看作代数的延伸。其实这一时期代数学的发展为19世纪的革命性变化奠定了基础。高斯研究了复数及其运算的几何表示，给出代数基本定理的第一个证明（1799）。法国数学家拉格朗日、旺德蒙德和意大利数学家鲁菲尼等研究五次以上代数方程的解法，发现根的有理函数与根置换对方程性质的深刻影响，开始认识到五次以上的代数方程用根式求解的不可能性。
在19世纪，代数学发生了革命性的变革。首先是挪威数学家阿贝尔证明了（1824－1826）五次以上的一般代数方程不可能用根式求解，并实质上引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念。紧接着（1832），法国数学家伽罗瓦对于高次方程是否能用根式求解问题给出更彻底的解答。他引进了置换群的正规子群、数域的扩域、群的同构等概念，证明了由方程的根的某些置换所构成的群（即伽罗瓦群）的可解性是方程根式可解的充分必要条件。伽罗瓦的工作并没有立即为人们所了解和接受，直到1870年才由法国数学家若尔当在他的著作《置换与代数方程》中给出第一个全面而清晰的阐述，他还补充了自己的新成果，这部著作大大地推进了置换群论的研究。

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