证明实数上的任一有界无限点至少有一个聚点

证明实数上的任一有界无限点至少有一个聚点

在这有界无限点集里可取一个数列a[1],a[2],a[3],...a[n],...出来
在数列{a[n]}中，若存在k使得a[k]≥a[m]，对所有m>k成立，......①
将所有这样的a[k]取出。若有无限个这样的点满足条件①，则
该子列是个有界单调递减数列，所以有极限，即聚点
若只有有限个点满足条件①，则记其中下标最大的为a[p]，
因为a[p]后面的点均不满足条件①，∴必存在t1>p，使得a[p]<a[t1]，
同样存在t2>t1，使得a[t1]<a[t2]，同理类似有t1<t2<t3<....，满足
a[t1]<a[t2]<a[t3]<......，则{a[t1],a[t2],a[t3],...}是有界单调递增数列
所有同样存在极限，即有聚点。
所以，综上，有界无限点集必有聚点

同问。。。

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