已知二次函数f（x）=ax2+bx满足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有两相等实根（1）求f（x）的解析式

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0，a、b为常数）满足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有两相等实根（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．（3）是否存在实数m和n（m＜n ），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在求出m和n的值

解答：解：（1）∵f（1-x）=f（1 x）∴f（x）的对称轴为x=1即-
b
2a
=1即b=-2a．
∵f（x）=x有两相等实根∴ax2 bx=x即ax2 （b-1）x=0有等根0，
∴b=1，a=-
1
2

∴f(x)=-
1
2
x2 x
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x m的图象上方，
即-
1
2
x2 x＞2x m在区间[-1，1]上恒成立
 即x2 2x 2m＜0在区间[-1，1]上恒成立故有
1-2 2m≤0
1 2 2m≤0
解得m≤-
3
2

 即当m≤-
3
2
时，在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x m的图象上方
（3）f(x)=-
1
2
x2 x=-
1
2
(x-1) 2
1
2
≤
1
2

   故3n≤
1
2
，故m＜n≤
1
6

  又函数的对称轴为x=1，故f（x）在[m，n]单调递增则有
f(m)=3m
f(n)=3n

  解得
m=0或m=-4
n=0或n=-4
，又m＜n，故m=-4，n=0

f(1+x)=f(1-x） 对称轴是x=1 所以-b/(2a)=1 b=-2a ax²+bx=x ax²+(b-1)x=0 x[ax+(b-1)]=0 x=0,x=-(b-1)/a 等跟则-(b-1)/a=0 b=1 a=-b/2=-1/2 f(x)=-x²/2+x

二次函数f（x）=ax^2+bx满足f（1-x）=f（1+x） 说明二次函数的对称轴为x=1 即 f（x）=ax^2+bx=a(x+b/(2a))^2-b^2/(4a) 得 -b/2a=1 即 b=-2a 方程f（x）=x有两相等实根，得ax^2+bx=x x=(1-b)/a=0 即 b=1 a=-1/2 (1) 二次函数解析式f(x)=-1/2x^2+x (2) 在区间[-1，1]上，f(x)为单调增 当x=-1时 f(x)-y>0 -1/2x^2-1-2x-m>0 将x=-1代入，得 -1/2-1+2-m>0 即m<1/2 当x=1时 f(x)-y>0 -1/2x^2+x-2x-m>0 将x=1代入，得 -1/2+1-2-m>0 即m<-3/2 实数m的范围：m<-3/2 (3) 使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n] f(m)=3m 3=-1/2m+1 m=-4 f(n)=3n

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