a,b,c是三个不同的数,两两互质,已知它们任意两个之和都能被第三个整除,则a^3+b^3+c^3=

a,b,c是三个不同的数,两两互质,已知它们任意两个之和都能被第三个整除,则a^3+b^3+c^3=
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答案36,三个数为1,2,3
首先,我们假设三个数中最大的数为c
则,必定有a+b=c,为什么不是a+b=n*c(n>=2),
因为c是最大的一个数,如果a+b=2c=c+c,则必定有a,b其中的一个数比c大才可能!
于是我们得到第一个关系式,a+b=c,命名为一式
现在假设a,b中的较大数为b,则必然有2b=a+c
为什么,因为如果nb=a+c,带入一式,nb=a+a+b =>(n-1)b=2a=>b/a=2/(n-1)
由于b比a要大,则b/a=2/(n-1)>1,所以n只能为2.
得到第二个关系式,a+c=2b
两式综合得到b=2a,c=3a
现在讨论a,由于a,b,c两两互质,所以a只能为1,不可能为其它的质数或者是合数,否则b,c就是a的倍数不能与a互质.
所以这三个数为1,2,3,其立方和为36

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