如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，试说明IE是AE和DE的比例中项

如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，试说明IE是AE和DE的比例中项

连接CE
则角ECB=角BAE=角EAC
所以三角形EDC相似于三角形ECA
所以AE*DE=CE平方
角EIC=1/2角BAC+1/2角BCA=角ECI
所以IE=CE
所以IE是AE和DE的比例中项

证明：连接ec  则易证明△edc∽△eac          从而有：ec² = ed*ea     再连接ic   则ci 平分∠acb        ∴∠ecd+∠icd = ∠iac+∠aci   即：∠eci = ∠eic    ∴ ec = ie    故：ie 是de  ae 的比例中项。

E是BC弧中点，连结CE，BE=IE=CE，《BCE=〈BAE（同弧圆周角相等）， 〈BAE=〈EAC， 〈EAC=〈DCE， 〈DEC=〈AEC（公用）， △CDE∽△ACE， CE/AE=DE/CE， CE^2=DE*AE, CE=IE=4,AE=8, DE=2.

证明：（2）连接IB． ∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∴弧BE=弧CE，则BE=CE， ∴∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠IBD+∠CAD=∠IBD+∠CBE=∠IBE， ∴IE=BE， 即C、I两个点在以点E为圆心，EB为半径的圆上

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