求(1+2^x+3^x)^1/x当x趋于正无穷时的极限

求(1+2^x+3^x)^1/x当x趋于正无穷时的极限

3^x < 1+2^x+3^x < 3 * 3^x
3 < (1+2^x+3^x) ^ (1/x) < 3^(1/x) * 3
lim(x->+∞) 3^(1/x) = 1
由迫敛准则（夹挤准则）得：
lim(x->+∞) (1+2^x+3^x) ^ (1/x) = 3

解：∵lim(x->+∞)[ln(1+2^x+3^x)/x] =lim(x->+∞)[(ln(1+2^x+3^x))'/(x)'] (∞/∞型极限，应用罗比达法则) =lim(x->+∞)[(2^x*ln2+3^x*ln3)/(1+2^x+3^x)] =lim(x->+∞)[((2/3)^x*ln2+ln3)/((1/3)^x+(2/3)^x+1)] =(0*ln2+ln3)/(0+0+1) =ln3 ∴lim(x->+∞)[(1+2^x+3^x)^(1/x)] =lim(x->+∞){(e^[ln(1+2^x+3^x)/x]} =e^{lim(x->+∞)[ln(1+2^x+3^x)/x]} =e^3。

（1+2^x+3^x)的1/x次方 ＜ （3^x+3^x+3^x)的1/x次方 ＝3×3的1/x次方

（1+2^x+3^x)的1/x次方 ＞ （0+0+3^x)的1/x次方 ＝3

x趋向于正无穷时，3的1/x次方的极限是1，所以由夹逼定理，（1+2^x+3^x)的1/x次方 的极限是 3

先取对数，再用洛比达法则，lim [ln(1+2^x+3^x)]/x=lim(2^xln2+3^xln3)/(1+2^x+3^x)=ln3 所以lim(1+2^x+3^x)^1/x=e^(ln3)=3 (x趋于正无穷）

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