【2013杭州二模】(2013?杭州二模)在几何体中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,...

【2013杭州二模】(2013?杭州二模)在几何体中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,...

【答案】 证明：（I）在△AA1B中，
　　∵D，E分别是AB，AA1的中点，
　　∴DE∥BA1，
　　又∵DE?平面A1BC1，A1B?平面A1BC1，
　　∴DE∥平面A1BC1．
　　∵AA1=2，CC1=1，E分别是AA1的中点，
　　∴EA1=CC1，
　　又∵CC1∥AA1，∴四边形ECC1A1是平行四边形，
　　∴EC∥A1C1．
　　而EC?平面A1BC1，A1C1?平面A1BC1，
　　∴EC∥平面A1BC1，
　　∵ED∩EC=E，ED，EC?平面DEC，
　　∴平面DEC∥平面A1BC1．
　　∴BC1∥平面CDE；
　　（II）∵AA1⊥平面ABC，
　　∴可以建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，1），A（0，0，0）．
　　不妨设AC=4a（a＞0），
　　∵AB⊥BC，AB=BC，D是AB的中点．
　　则C（0，4a，0），B（2a，2a，0），D（a，a，0）．
　　∴
【问题解析】
（I）利用三角形的中位线定理可证DE∥平面A1BC1．利用平行四边形的判定定理可证四边形ECC1A1是平行四边形，进而证明EC∥平面A1BC1，利用两个平面平行的判定定理得到平面DEC∥平面A1BC1．利用两个平面平行的性质定理可得结论；（II）通过建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角． 名师点评 本题考点 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法． 考点点评 熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面与平面平行的判定和性质定理、通过建立如图所示的空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角得出二面角是解题的关键．
【本题考点】
用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法． 考点点评 熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面与平面平行的判定和性质定理、通过建立如图所示的空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角得出二面角是解题的关键．

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