为什么二次函数a越大开口越小

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要证明“二次函数为什么a越大开口越小”必须严格描述“二次函数a越大开口越小”。

我们分三种情况：

1、当f(x)=a(x-x1)(x-x2)时，其中，二次函数与x轴有两个交点，x1<x2，x1和x2不变

f(x)=ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2

f(x)顶点（(x1+x2)/2, -a(x1-x2)^2/4)

当|a|变大时，f(x)的顶点纵坐标远离x轴，而二次函数与x轴有两个交点不变，当然开口越来越小

2、当f(x)=a(x-x0)^2+y0时，其中，二次函数顶点（x0,y0)不变

f(x)=ax^2-2ax0x+1x0^2+y0

在顶点不动的前提下，为了比较开口大小，我们取适当直线y=d，使之与二次曲线相交出两个交点x1,x2

x1<x2,计算x2-x1的大小，可以比较开口大小

ax^2-2ax0x+1x0^2+y0=d

ax^2-2ax0x+1x0^2+y0-d=0

x2-x1=2根号[-（y0-d)/a]----------------------（1）

可见，无论y0是多少，无论a0是正是负，可以取适当大小的d，使判别式大于零，（1）根号有意义

在顶点不变时间，从（1）式看，当|a|很大时，x2-x1很小，开口变小。

 

在二次函数中，将其配方后可得：y=a(x-h)²+k，当a越大时，函数值的增加速度就越快，导致相同自变量的该变量中，函数值的增加速度加大，从而体现在函数的图像中，就是抛物线的开口越小

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