已知数列{an}满足：a1=3/2,且an=(3n·an-1)/(2an-1+n-1)(n≥2,n∈

已知数列{an}满足：a1=3/2,且an=(3n·an-1)/(2an-1+n-1)(n≥2,n∈

(1)an/n=3a(n-1)/(2a(n-1)+n-1)倒数n/an=(2a(n-1)+n-1)/3a(n-1)=2/3+(n-1)/3a(n-1)设n/an=bn,得bn=1/3b(n-1)+2/3即bn-1=1/3(b(n-1)-1所以{bn-1}为等比数列,首项b1-1=1/a1-1=-1/3所以bn-1=-1/3^nbn=1-3^nan=n/bn=n*3^n/(3^n-1)(2)即证明3/(3-1)*3^2/(3^2-1)*3*3/(3^3-1)*...*3^n/(3^n-1)1/2使用放大的方法,先证明n∈N*时,有(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n)①下面用数学归纳法证明n=1时①式成立假设n=k时成立,即(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)则n=k+1时(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^k) [1-1/3^(k+1)]>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)[1-1/3^(k+1)]=1-(1/3+1/3^2+...1/3^k)-1/3^(k+1)+1/3^(k+1)(1/3+1/3^2+...1/3^k)>=1-[1/3+1/3^2+...1/3^k+1/3^(k+1)] ①式成立故由数学归纳法知①式对一切n∈N*均成立∴(1-1/3)(1-1/3^2)...(1-1/3^n)>=1-(1/3+1/3^2+...1/3^n)=1-(1/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)=1-(1/2)[1-(1/3)^n]=1/2+1/2(1/3)^n>1/2即原式成立

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