高一函数题 单调性

函数f(x)是定义域在正实数上的减函数，并且满足f(xy)=f（x）+(y),f(1/3)=1,那么如果f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范围？

∵函数f(x)是定义域在正实数上的减函数

∴x＞0，2-x＞0

∴0＜x＜2

∵f(xy)=f（x）+(y),f(1/3)=1

∴f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2

∴原不等式化为f[x(2-x)]＜f(1/9)

∵f(x)是减函数

∴x(2-x)＞1/9

∴(3-2√ 2)/3＜x＜(3+2√ 2)/3

∴x的取值范围为（(3-2√ 2)/3，(3+2√ 2)/3）

由f(xy)= f(x)+ f(y) f(1/3)=1 所以xy=1/3,f(x)+f(y)=1 y=1/3x所以f(x)+f(1/3x)=1,再根据那个公式求，正实数的减函数，图像在第一像限内，x值取正数

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