求证：a1=根号2，an+1=根号（2an），证明数列an有极限

求证：a1=根号2，an+1=根号（2an），证明数列an有极限

a1=√2>0
假设当n=k(k∈N+)时，ak>0，则当n=k+1时，
a(k+1)=√(2ak)>0
k为任意正整数，因此对于任意正整数n，an恒>0
a(n+1)=√(2an)
log2[a(n+1)]=log2[√(2an)]=(1/2)log2(2an)=1/2 +(1/2)log2(an)
log2[a(n+1)]-1=(1/2)[log2(an) -1]
[log2(a(n+1)) -1]/[log2(an) -1]=1/2，为定值
log2(a1) -1=log2(√2) -1=1/2 -1=-1/2
数列{log2(an) -1}是以-1/2为首项，1/2为公比的等比数列
log2(an) -1=(-1/2)(1/2)^(n-1)=-1/2ⁿ
log2(an)=1- 1/2ⁿ
an=2^(1- 1/2ⁿ)
n->+∞，1/2ⁿ->0 1-1/2ⁿ->1
2^(1- 1/2ⁿ) ->2
lim an=2
n->+∞

解：显然an>0 则a(n+1)^2-an=2an-an=an>0 即a(n+1)>an 则an单调递增 下面用数学归纳法证明an有上界即an<2 当n=1时，a1<2显然成立 假设当n=k时，ak<2成立 则当n=k+1时，a(k+1)=√2ak<√4=2 也成立 综上所述，an<2成立 根据数列单调递增且有上界， 故数列收敛 则lima(n+1)=liman 则lima(n+1)=lim√2an=liman 解得liman=2 故其极限为2

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