如图，在△ABC中，角C=90°，D是BC边的中点，DE⊥AB于E，试说明：AE平方-BE平方=AC平方

如图，在△ABC中，角C=90°，D是BC边的中点，DE⊥AB于E，试说明：AE平方-BE平方=AC平方

证明：

∵在直角三角形ACD里：

∴AC²=AD²-CD²

∵在直角三角形ADE里

∴AD²=AE²+DE²

∴AC²=(AE²+DE²)-CD²

∵CD=BD

∴AC²=AE²+（DE²-BD²）

∵在直角三角形BDE里

∴BD²=DE²+BE²

∴DE²-BD²=-BE²

∴AC²=AE²-BE²

在AE上取EF=BF.连结CF.则E为等腰△DBF底边BF中点，。

因为D是BC中点，

所以CD=BD=DF

∠CFD+∠DFE=90°

RT△ABC∽RT△ACF

所以AB/AC=AC/AF

即：AC²=AB*AF=(AE+BE)*(AE-EF)=(AE+BE)*(AE-BE)=AE²-BE²

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