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【高考数学】21、已知数列 ,且 。求证: 为等差数列的充要条件是 为等差数列。

答案:1  悬赏:40  手机版
解决时间 2021-05-10 05:48
  • 提问者网友:两耳就是菩提
  • 2021-05-10 02:32

 

最佳答案
  • 五星知识达人网友:时间的尘埃
  • 2021-05-10 03:20

必要性:


设an公差为d,则
bn=(a1+2a2+3a3+…+nan)/(1+2+3+…+n)
=2(a1+2a2+3a3+…+nan)/n(n+1)
=2(a1+2(a1+d)+3(a1+2d)+…+n(a1+(n-1)d)/n(n+1)
=2{(a1+2a1+3a1+…+na1)+[1*2+2*3+3*4+…(n-1)n]d}/n(n+1)
=2{(n(n+1)a1/2)+[1*2+2*3+3*4+…(n-1)n]d}/n(n+1)
={(n(n+1)a1)+2[1*2+2*3+3*4+…(n-1)n]d}/n(n+1)
=a1+2[1*2+2*3+3*4+…+(n-1)n]d/n(n+1)
=a1+2[1+2+3+…+n-1+1^2+2^2+3^2+…+(n-1)^2]d/n(n+1)
=a1+2(n-1)n(n+1)d/3n(n+1)
=a1+(n-1)2d/3
即是bn是以a1为首数,2d/3为公差的等差数列


同理可证


必要性:当bn为等差数列时,an为等差数列


所以是数列{bn}等差数列冲要条件{an}是等差数列

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