设实数x,y,z满足x+y+z=1, 则M=xy+2yz+3xz的最大值为
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解决时间 2021-04-01 08:11
- 提问者网友：流星是天使的眼泪
- 2021-03-31 21:03
设实数x,y,z满足x+y+z=1, 则M=xy+2yz+3xz的最大值为
最佳答案
- 五星知识达人网友：从此江山别
- 2021-03-31 22:09
解：
令y=kx
z=1-x-y
M=xy+2yz+3xz
=x·kx+2kx(1-x-kx)+3x(1-x-kx)
=kx²+2kx-2kx²-2k²x²+3x-3x²-3kx²
=-(2k²+4k+3)x²+(2k+3)x
=-(2k²+4k+3)[x- (2k+3)/(4k²+8k+6)]²+ 1/(8k²+16k+12)
1/(8k²+16k+12)=1/(8k²+16k+8+4)=1/[8(k+1)²+4]
8(k+1)²+4≥4，0<1/[8(k+1)²+4]≤¼，当且仅当k=-1时取等号
此时，(2k+3)/(4k²+8k+6)=[2·(-1)+3]/[4·(-1)²+8·(-1)+6]=½
综上，得：当且仅当x=½，y=-½时，M=xy+2yz+3xz取得最大值
M的最大值为¼
令y=kx
z=1-x-y
M=xy+2yz+3xz
=x·kx+2kx(1-x-kx)+3x(1-x-kx)
=kx²+2kx-2kx²-2k²x²+3x-3x²-3kx²
=-(2k²+4k+3)x²+(2k+3)x
=-(2k²+4k+3)[x- (2k+3)/(4k²+8k+6)]²+ 1/(8k²+16k+12)
1/(8k²+16k+12)=1/(8k²+16k+8+4)=1/[8(k+1)²+4]
8(k+1)²+4≥4，0<1/[8(k+1)²+4]≤¼，当且仅当k=-1时取等号
此时，(2k+3)/(4k²+8k+6)=[2·(-1)+3]/[4·(-1)²+8·(-1)+6]=½
综上，得：当且仅当x=½，y=-½时，M=xy+2yz+3xz取得最大值
M的最大值为¼
全部回答
- 1楼网友：一叶十三刺
- 2021-04-01 00:43
- 2楼网友：山河有幸埋战骨
- 2021-03-31 23:41
答案为¾
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