设函数f(x)=x(1+x)^2 ,求f(x)的极值点

设函数f(x)=x(1+x)^2 ,求f(x)的极值点

1、f'(x)＝1+4x+3x^2＝3(x+1)(x+1/3)，驻点是-1/3和-1

f''(x)＝4+6x

f''(-1/3)＞0，所以f(x)在x＝-1/3处取得极小值f(-1/3)＝-4/27；

f''(-1)＜0，所以f(x)在x＝-1处取得极大值f(-1)＝0

2、由单调性，函数在[a,0]上的最小值只能在f(a)，f(0)，f(-1/3)，f(-1)中选择

f(0)＝0，f(a)＝a(1+a)^2，a(1+a)^2-(-4/27)＝(a+1/3)^2×(a+4/3)，a≥-4/3时，f(a)≥f(-1/3)；a＜-4/3时，f(a)＜f(-1/3)

-1/3≤a＜0时，两个极值点都不在(a,0)内，所以f'(x)＞0，所以最小值F(a)＝f(a)＝a(1+a)^2

-1≤a＜-1/3时，极小值点-1/3在(a,0)内，此时f(0)＞f(a)＞f(-1/3)，所以最小值F(a)＝f(-1/3)＝-4/27

-4/3≤a＜-1时，两个极值点都在(a,0)内，此时f(0)＝f(-1)＞f(a)＞f(-1/3)，所以最小值F(a)＝f(-1/3)＝-4/27

a＜-4/3时，两个极值点都在(a,0)内，此时f(0)＝f(-1)＞f(-1/3)＞f(a)，所以最小值F(a)＝f(a)＝a(1+a)^2

所以，k＝F(a)/a＝

(1+a)^2，当-1/3≤a＜0或a＜-4/3时

-4/(27a)，当-4/3≤a＜-1/3时

当-1/3≤a＜0或a＜-4/3时，K＝(1+a)^2，最小值是4/9（a＝-1/3时取得）

当-4/3≤a＜-1/3时，K＝-4/((27a)，最小值是1/9（a＝-4/3时取得）

所以，K＝F(a)/a的最小值是1/9

第一问就不说了，你也会，在（-无穷大，-1）是增函数，在（-1，-1/3）是减函数，在（-1/3,0)是增函数，分情况讨论，当【A,0]含于（-1/3,0)时，最小值为X=A时，K=(1+A)的平方，

当A属于（-1，-1/3）即【A，0】含于（-1，0）时，F(A)=F(-1/3),所以K=4/9,

当A属于（-无穷大，-1）时，最小值为X=A时，K=(1+A)的平方

解： f '（x）=1+4x+3x^2=（3x+1）(x+1)

当f '（x）大于等于0时函数单调递增

此时x>-1/3或者x<-1

当f '（x）小于等于0时函数单调递减

此时-1<x<-1/3

则极大值为0点为（-1，0）

极小值为-4/27点为（-1/3,0）

1 f(x)=x(1+x)^2=x(1+2x+x^2)=x+2x^2+x^3

f(x)的 导数是=1+4x+2x^2

与X轴焦点为(（2+根号2）/2,0)（（2-根号2）/2，0）

则极值点为(（2+根号2）/2，或（2-根号2）/2

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