判断函数f(x)等于2分之（a的x次方减a的-x次方）的单调性。（a＞0，且a≠1)

判断函数f(x)等于2分之（a的x次方减a的-x次方）的单调性。（a＞0，且a≠1)

令x1<x2

f(x1)=(a^x1 - a^-x1 )/2

f(x2)=(a^x2 - a^-x2 )/2

f(x1)-f(x2)

=(a^x1 - a^-x1 )/2 -(a^x2 - a^-x2 )/2

=(a^x1 -a^x2 +a^-x2 -a^-x1)/2

=[a^x1 -a^x2 +(a^x1 -a^x2)/(a^x1 a^x2)]/2

=(a^x1 -a^x2)[1+ 1/(a^x1 a^x2)]

又1+ 1/(a^x1 a^x2)>0恒成立

(1)a>1时，a^x1<a^x2

所以f(x1)-f(x2)<0

函数单增

(2)0<a<1时，a^x1>a^x2

所以f(x1)-f(x2)>0

函数单减

解: f(x)的定义域为 (负无穷,正无穷)

f'(x)=(a的x次方减a的-x次方)*lna/2 (打字太难过程省去)

令 f'(x)=0 有(a的x次方减a的-x次方)*(lna)/2 =0 简化为a的x次方=a的x次方 解出X=0

单调区间有 (负无穷,0] 和[0,正无穷)

X=-1 f'(-1)=(1/a-a).*(lna)/2 当0<a<1时 f'(-1)>0 f(x)单调增 当a>1时 f'(-1)<0 f(x)单调减

X=1 f'(1)=(a-1/a).*(lna)/2 当0<a<1时 f'(1)<0 f(x)单调减 当a>1时 f'(1)>0 f(x)单调增.

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