【平方和】求1到n的平方和.

【平方和】求1到n的平方和.

【答案】 平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
　　　　即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方)
　　　　
　　证法一
　　　　（归纳猜想法）：
　　　　1、N=1时,1=1（1+1）（2×1+1）/6=1
　　　　2、N=2时,1+4=2（2+1）（2×2+1）/6=5
　　　　3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
　　　　则当N=x+1时,
　　　　1+4+9+…+x2+（x+1）2=x(x+1)(2x+1)/6+（x+1）2
　　　　=（x+1）[2（x2）+x+6（x+1）]/6
　　　　=（x+1）[2（x2）+7x+6]/6
　　　　=（x+1）（2x+3）（x+2）/6
　　　　=（x+1）[（x+1）+1][2（x+1）+1]/6
　　　　也满足公式
　　　　4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.
　　证法二
　　　　(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1） ：
　　　　(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
　　　　n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
　　　　.
　　　　3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
　　　　2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
　　　　把这n个等式两端分别相加,得：
　　　　(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
　　　　由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
　　　　代入上式得：
　　　　n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
　　　　整理后得：
　　　　1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
　　a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)
　　完全平方计算公式
　　(3x-5)²-(2x+7)²=9x²-30x+25-(4x²+28x+49)=5x²-58x-24
　　(3x-5)²-(2x+7)²=(3x-5+2x+7)(3x-5-2x-7)=(5x+2)(x-12)=5x²-60x+2x-24=5x²-58x-24
　　(x+y+1)(x+y-1)=(x+y)²-1=x²+2xy+y²-1
　　(2x-y-3)²=(2x-y)²-6(2x-y)+9=4x²-4xy+y²-12x+6y+9
　　[(x+2)(x-2)]²=(x²-4)²=x的4次方-8x²+16
　　(2x+3y)²-(2x+y)(2x-y)=4x²+12xy+9y²-(4x²-y²)=12xy+10y²
　　原式=12*1/3*(-1/2)+10*(-1/2)²=-2+5/2=0.5
　　设变成为x
　　(x+3)²-x²=39
　　x²+6x+9-x²=39
　　6x=30
　　x=5
　　[(a+b)/2]²π-(a/2)²π-(b/2)²π=abπ/2=1.57ab

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