求曲线x平方+y平方+z平方-2x=4和x+y+z=0在点(1,1,-2)处的切线及法平面方程

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设F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2x -4 G(x,y,z)=x+y+z
∂F/∂x=2x-2 ∂F/∂y=2y ∂F/∂z=2z
则 n1=(0,2,-4)
∂G/∂x=1 ∂G/∂y=1 ∂G/∂z=1
则 n2=(1,1,1)
所以：
| i j k |
n= | 0 2 -4 | =(6,4,-2)
| 1 1 1 |
法平面方程：6(x-1)+4(y-1)-2(z+2)=0
即；6x+4y-2z-14=0

先对已知方程的两边对x求导，得2x+2ydy/dx+2zdz/dx-2=0;1+dy/dx+dz/dx=0;联立解得dz/dx=(y-x+1)/(z-y) dy/dx=(x-z-2)/(z-y);由此有dy/dx|(1,1,-2)=-1/3,dz/dx|(1,1,-2)=-1/3,从而法向量为（1，-1/3,-1/3）故切线方程为（x-1）/1=(y-1)/-1/3=(z+2)/-1/3;法平面方程为（x-1）+-1/3(xy-1)+-1/3(z+2)=0

求曲线y²=4x，z=2x²在点xo=1处的切线及法平面方程。 解：设x=t，y²=4t，z=2t²；to=1时xo=1，yo=±2，zo=2； dx/dt=x'=1；2y(dy/dt)=2yy'=4，故y'=4/2y；dz/dt=z'=4t； 故当to=1时，x'o=1，y'o=±1，z'o=4； 故曲线在xo=1处的切线方程为：x-1=(y-2)/4=(z-2)/4；或x-1=-(y+2)=(z-2)/4； 曲线在xo=1处的法平面方程为：(x-1)+(y-2)+4(z-2)=x+y+4z-5=0，或(x-1)-(y+2)+4(z-2)=x-y+4z-5=0

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