已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R，（Ⅰ）若a≤-12，讨论f（x）的单调性；（

已知函数f（x）=（ax2+x-1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R，
（Ⅰ）若a≤-
1
2 ，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=-1，对任意的x∈（-∞，0），都有f（x）＞
1
3 x3+
1
2 x2+m，求实数m的取值范围．

（Ⅰ）f′（x）=（2ax-2）?ex+（x2-2x+1）?ex=（ax2+2ax+x）ex=[x（ax+2a+1）]ex，
令f′（x）=0，得x=0，或x=-
2a+1
a =-2-
1
a ，
①若a=-
1
2 ，f′（x）=-
1
2 x2ex≤0，函数f（x）在R上单调递减，
②若a＜-
1
2 ，当x∈（-∞，-2-
1
a ）和（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-2-
1
a ，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
综上所述，当a=-
1
2 ，函数f（x）在R上单调递减，
当a＜-
1
2 ，函数f（x）在x∈（-∞，-2-
1
a ）和（0，+∞）时，函数f（x）单调递减，在（-2-
1
a ，0）时，函数f（x）单调递增；
（Ⅱ）当a=-1时，
∴f′（x）=-x（x+1）ex，
∴函数f（x）在（-1，0）上单调递增，在（-∞，-1）上单调递减，
∴f（x）在x=-1处取得最小值，最小值为f（-1）=-
3
e ，
设g（x）=
1
3 x3+
1
2 x2+m，
则g′（x）=x2+x，
当x＜-1时，g′（x）＞0，当-1＜x＜0时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，0）上单调递增，
故g（x）在x=-1时取得最大值，最大值为g（-1）=
1
6 +m，
由题意可知?
3
e ＞
1
6 +m，
∴m＜-
1
6 ?
3
e
故实数m的取值范围为（-∞，-
1
6 ?
3
e ）

（ⅰ）f′（x）=（ax2+x-1）ex+（2ax+1）ex=x（ax+2a+1）ex， ①若- 1 2 ＜a＜0，当x＜0或x＞- 2a+1 a 时，f′（x）＜0；当0＜x＜- 2a+1 a 时，f′（x）＞0． ∴f（x）的单调递减区间为（-∞，0]，[- 2a+1 a ，+∞）；单调递增区间为[0，- 2a+1 a ]． ②若a=? 1 2 ，f′（x）=- 1 2 x2ex≤0， ∴f（x）的单调递减区间为r． ③若a＜? 1 2 ，当x＜- 2a+1 a 或x＞0时，f′（x）＜0；当- 2a+1 a ＜x＜0时，f′（x）＞0． ∴f（x）的单调递减区间为（-∞，- 2a+1 a ]，[0，+∞）；单调递增区间为[- 2a+1 a ，0]． （ⅱ）由（1）知，f（x）=（-x2+x-1）ex在（-∞，-1]]上单调递减，在[-1，0]单调递增，在[0，+∞）上单调递减， f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=- 3 e ，在x=0处取得极大值f（0）=-1． 由g（x）= 1 3 x3+ 1 2 x2+m，得g′（x）=x2+x． 当x＜-1或x＞0时，g′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g′（x）＜0． ∴g（x）在（-∞，-1]]上单调递增，在[-1，0]单调递减，在[0，+∞）上单调递增， ∴g（x）在x=-1处取得极大值g（-1）= 1 6 +m，在x=0处取得极小值g（0）=m． ∵函数f（x）与函数g（x）的图象有3个不同的交点， ∴ f(?1)＜g(?1) f(0)＞g(0) ，解得，- 3 e - 1 6 ＜m＜-1．

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