设x,y,z≥0，且x+y+z=1,求证：0≤xy+yz+xz-2xyz≤7/27

设x,y,z≥0，且x+y+z=1,求证：0≤xy+yz+xz-2xyz≤7/27

因为所证式子及已知中x,y,z可以轮换，即性质等价，
所以不妨设x>=y>=z>=0;
由x+y+z=1得z<=1/3;
xy+yz+xz-2xyz=yz+xz+xy(1-2z)>=yz+xz+(1/3)xy>=0
x=1,y=z=0时可取等，左边得证。

又xy+yz+xz-2xyz=xy(1-2z)+z(x+y)=xy(1-2z)+z(1-z)
而xy<=(x+y)^2/4=(1-z)^2/4
所以xy+yz+xz-2xyz<=(1-2z)(1-z)^2/4+z(1-z)
=(1-z)(2z^2+z+1)/4
令f(z)=(1-z)(2z^2+z+1)/4
则f'(z)=-2z(3z-1)
显然0<=z<=1/3时，f'(z)>=0, f(z)为不减函数。
故对0<=z<=1/3时有f(z)<=f(1/3)=7/27;
也就有xy+yz+xz-2xyz<=7/27,当x=y=z=1/3可取等。

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