等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并证明它的轨迹是什么？

等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并证明它的轨迹是什么？

两个端点到顶点的距离相等，故设其坐标为（x,y)则
(x-4）^2+(y-2)^2=(3-4)^2+(5-2)^2=10
这是一个圆的方程，但不包括三点在一直线的情况。

容易发现C的轨迹是一个圆（除去B 和AB延长与该圆的另一个交点） 该圆是以A为圆心AB为半径的圆求出直线AB的方程为3X+Y=14 C的轨迹圆为（X-4)^2+(Y-2)^2=10 由两个方程解得另外一个交点坐标为（5.-1)

因为是等腰三角形且a是顶点，所以ab＝ac

ab＝√(4-3)²+(2-5) ²=√10    ac＝√(4-x)²+(2-y) ²  所以(4-x)²+(2-y) ²  ＝10即c的轨迹是一个圆

考虑到ba延长线与该圆相交，但与ab不能构成等腰三角形而是一条直线，所以此点得排除。设ba所在直线为y=kx+b，将a和b的座标代入，得2=4k+b，5=3k+b，解这个方程组得，k=-3，b=14。则直线方程是y=-3x+14。

将y=-3x+14代入到圆(4-x)²+(2-y) ²  ＝10得，x=3(即点b，舍去)和x=5

将x=5代入y=-3x+14或圆(4-x)²+(2-y) ²  ＝10都可得到y=-1[直线与圆相交]

所以，点c的轨迹是圆(4-x)²+(2-y) ²  ＝10但点（5，－1）除外，因为它与a、b在同一直线上

端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心√10为半径的圆 c(x,y) (x-4)^2+(y-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 三点ABC不共线.

设C（x,y)，由题意AB=AC,列方程(x-4)^2+(y-2)^2=(4-3)^2+(5-2)^2 求得轨迹为(x-4)^2+(y-2)^2=10

c(x,y) (x-4)^2+(y-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心√10为半径的圆 A，B，C三点不共线，点（5，-1）除外，B点除外

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息