已知函数f(x)=x(x-a)(x-b) 点A[s,f(s)] B[t,f(t)] (1)若a=0,b=3.函数f(x)在(t,t+3)上既能取最大值，又能取

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解决时间 2021-04-04 08:47

提问者网友：椧運幽默
2021-04-03 20:50

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五星知识达人网友：雪起风沙痕
2021-04-03 21:11

已知函数f(x)=x(x-a)(x-b) 点A[s,f(s)] B[t,f(t)] (1)若a=0,b=3.函数f(x)在(t,t+3)上既能取最大值，又能取最小值，求t的取值范围。（2）当a=0时，f(x)/x+lnx+1大于等于0对任意的x属于1/2到正无穷大恒成立，求b的取值范围。
(1)解析：∵函数f(x)=x(x-a)(x-b)，a=0,b=3.函数f(x)在(t,t+3)上既能取最大值，又能取最小值
f(x)=x^2(x-3)==>f’(x)=3x^2-6x=0==>x1=0,x2=2
f’’(x)=6x-6==> f’’(0)=-6<0,∴函数f(x)在x=0处取极大值，f’’(2)=6>0,∴函数f(x)在x=2处取极小值
t+3>2==>t>-1
t<0
∴-1(2)解析：∵当a=0时，f(x)/x+lnx+1大于等于0对任意的x属于1/2到正无穷大恒成立
f(x)=x^2(x-b)
设h(x)= f(x)/x+lnx+1=x^2-bx+lnx+1>=0 x∈[1/2,+∞)
B<=(x^2+lnx+1)/x
设g(x)= (x^2+lnx+1)/x
G’(x)= (x^2-lnx) /x^2>0
∴g(x)在区间[1/2,+∞)单调增
g(1/2)=5/2-2ln2≈1.1137
∴b<=g(1/2)=5/2-2ln2≈1.1137

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1楼网友：酒安江南
2021-04-03 21:31

（1）代入a，b，化简可得f（x）=x³-3x²，对其求导，f‘（x）=3x²-6x。令导数等于0，可解的x1=0，x2=2，则根据定义判断x=0时取得极小值且为最小值，x=2时取得极大值且为最大值，则令t<0，t+3>2即可，解出-1(2)代入a并化简可得x²-bx+lnx+1>0，继续化简b

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