证明设函数y=f(x)在R上为奇函数，证明若f(x)在R上为单调函数，则 |f(x1)|＜|f(x2)|与 |x1|＜|x2|

证明设函数y=f(x)在R上为奇函数，证明若f(x)在R上为单调函数，则 |f(x1)|＜|f(x2)|与 |x1|＜|x2|

因为f(x)为奇函数，所以该函数关于原点对称，又因为其在R上为单调函数，当其单调增，且/x1/</x2/时，/f(x1)/</f(x2)/，当其单调减且/x1/</x2/时，/f(x1)</f(x2)/。得证。（画图可知如y=x或y=-x）

函数y=f(x)是R上的奇函数

则f(0)=0且函数y=|f(x)|是偶函数

---------证明：

函数是R上的奇函数

0∈R，f(0)=-f(0)

即2f(0)=0,求出f(0)=0

---

对任意的x∈R，|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|

所以，函数y=|f(x)|是R上的偶函数

------------------------

若函数又为R上的单调函数

从上面讨论知道，函数y=|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称

那么函数y=|f(x)|在（-∞，0]上单调递减，最小值是f(0)=0，在[0，+∞）上单调递增，最小值是f(0)=0

所以，若|f(x1)|＜|f(x2)|，则 |x1|＜|x2|；若|x1|＜|x2|，则|f(x1)|＜|f(x2)|

（|x1|＜|x2|表示x1到原点的距离小于x2到原点的距离）

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