求（1+i）^2n＋（1-i）^2n

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解决时间 2021-04-05 07:25

提问者网友：兔牙战士
2021-04-04 09:55

急求，要解题过程

最佳答案

五星知识达人网友：刀戟声无边
2021-04-04 10:06

解：因为：(1+i)^2=2i
(1-i)^2=-2i
所以原式可化为：
(2i)^n+(-2i)^n
=2^n*i^n+(-2)^n*i^n
当：n=4k (k为整数）时
原式=2^(4k)*(i^4)^k+(-2)^(4k)*(i^4)^k
=2^(4k+1) 因为（i^4=1)
当：n=4k+1 (k为整数）时
原式=2^(4k+1)*(i^4)^k*i+(-2)^(4k+1)*(i^4)^k*i
=2^(4k+1)*i-2^(4k+1)*i=0
当：n=4k+2 (k为整数）时
原式=2^(4k+2)*(i^4)^k*i^2+(-2)^(4k+2)*(i^4)^k*i^2
=-2^(4k+2)-2^(4k+2)
=-2^(4k+3)
当：n=4k+3 (k为整数）时
原式=2^(4k+3)*(i^4)^k*i^3+(-2)^(4k+3)*(i^4)^k*i^3
=2^(4k+3)*(-i)-2^(4k+3)*(-i)
=0
综上，当n为奇数时，原式=0;当n为偶数时：
1)4k+1 原式=。。。
2)4k+3 原式=。。。

全部回答

1楼网友：你可爱的野爹
2021-04-04 11:40

（1+i）^2n＋（1-i）^2n =(1+2i+i^2)^n+(1-2i+i^2)^n =(1+2i-1)^n+(1-2i-1)^n =(2i)^n+(-2i)^n =[1+(-1)^n](2i)^n 当n为奇数时＝0 当n为偶数时＝2（2i）^n

2楼网友：雾月
2021-04-04 11:00

（1+i）^2＝2i （1-i）^2＝－2i （1+i）^2n＋（1-i）^2n ＝（2i）^n+(-2i)^n =2^n(i^n+(-i)^n)

3楼网友：独钓一江月
2021-04-04 10:31

(1+i)^2n/1-i+(1-i)^2n/1+i=2^n 通分(1+i)^（2n+1)+(1-i)^（2n+1）=2^n（1-i²） 1-i=-i²-i=-i（1+i），1-i²=1+1=2 所以(1+i)^（2n+1)-i(1+i)^（2n+1）=2^（n+1）合并：(1+i)^（2n+1)*（1-i）=2^n（1-i²） (1+i)^（2n+1)=2^n（1+i） (1+i)^2n=2^n (1+i)²^n=2^n （2i）^n=2^n

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