已知函数f（x）= a x +x+（a-1）lnx+15a，其中a＜0，且a≠1（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（

已知函数f（x）= a x +x+（a-1）lnx+15a，其中a＜0，且a≠1（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数g（x）= (-2 x 3 +3a x 2 +6ax-4 a 2 -6a) e x (x≤1) e?f(x) (x＞1) （e是自然对数的底数），是否存在a，使g（x）在[a，-a]上是减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=-
a
x 2 +1+
a-1
x =
(x+a)(x-1)
x 2 ，
①若-1＜a＜0，则当0＜x＜-a时，f′（x）＞0；当-a＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．故f（x）分别在（0，-a），（1，+∞）上单调递增，在（-a，1）上单调递减．
②若a＜-1，仿①可得f（x）分别在（0，1），（-a，+∞）上单调递增，在（1，-a）上单调递减；
（2）存在a，使g（x）在[a，-a]上为减函数．事实上，设h（x）=（-2x 3 +3ax 2 +6ax-4a 2 -6a）e x （x∈R），则h′（x）=[-2x 3 +3（a-2）x 2 +12ax-4a 2 ]e x
再设m（x）=-2x 3 +3（a-2）x 2 +12ax-4a 2 （x∈R），
则g（x）在[a，-a]上单调递减时，h（x）必在[a，0]上单调递减所以h′（a）≤0，由于e x ＞0，
因此g（x）在[a，-a]上为减函数，当且仅当f（x）在[1，-a]上为减函数，h（x）在[a，1]上为减函数，且h（1）≥e?f（1）．由（1）知，当a≤-2①时，f（x）在[1，-a]上为减函数．又h（1）≥e?f（1）?4a 2 +13a+3≤0?-3≤a≤-
1
4 ②
不难知道，?x∈[a，1]，h′（x）≤0??x∈[a，1]，m（x）≤0，因m′（x）=-6x 2 +6（a-2）x+12a=-6（x+2）（x-a），令m′（x）=0，则x=a，或x=-2．而a≤-2，于是
（p）当a＜-2时，若a＜x＜-2，则m′（x）＞0；若-2＜x＜1，则m′（x）＜0．因而m（x）在（a，-2）上单调递增，在
（-2，1）上单调递减．
（q）当a=-2时，m′（x）≤0，m（x）在（-2，1）上单调递减．
综合（p）（q）知，当a≤-2时，m（x）在[a，1]上的最大值为m（-2）=-4a 2 -12a-8．所以?x∈[a，1]，m（x）≤0
?m（-2）≤0?-4a 2 -12a-8≤0?a≤-2③，
又对x∈[a，1]，m（x）=0只有当a=-2时在x=-2取得，亦即h′（x）=0只有当a=-2时在x=-2取得．因此，当a≤-2时，h（x）在[a，1]上为减函数．
从而有①，②，③知，-3≤a≤-2
综上所述，存在a，使g（x）在[a，-a]上为减函数，且a的取值范围为[-3，-2]．

解：(ⅰ)f(x)的定义域为(0，+∞)， ， (1)若-1＜a＜0，则当0＜x＜-a时，f′(x)＞0； 当-a＜x＜1时，f′(x)＜0； 当x＞1时，f′(x)＞0， 故f(x)分别在（0，-a），(1，+∞)上单调递增，在（-a，1）上单调递减； (2)若a＜-1，仿(1)可得f(x)分别在(0，1)，（-a，+∞）上单调递增，在（1，-a）上单调递减； (ⅱ)存在a，使g(x)在[a，-a]上为减函数， 事实上，设h(x)=(-2x 3 +3ax 2 +6ax-4a 2 -6a)e x (x∈r)， 则h′(x)=[-2x 3 +3(a-2)x 2 +12ax-4a 2 ]e x ， 再设m（x）=-2x 3 +3（a-2）x 2 +12ax-4a 2 （x∈r）， 则当g(x)在[a，-a]上单调递减时，h(x)必在[a，0]上单调递减，所以h′(a)≤0， 由于e x ＞0，因此m(a)≤0， 而m(a)=a 2 (a+2)，所以a≤-2， 此时，显然有g(x)在[a，-a]上为减函数，当且仅当f(x)在[1，-a]上为减函数，h(x)在[a，1]上为减函数，且h(1)≥e·f(1)， 由(ⅰ)知，当a≤-2时，f(x)在[1，-a]上为减函数， ① 又 ，② 不难知道， ， 因m′(x)=-6x 2 +6（a-2）x+12a=-6(x+2)(x-a)， 令 m′(x)=0，则x=a，或x=-2，而a≤-2，于是 (1)当a＜-2时，若a＜x＜-2，则m′(x)＞0； 若-2＜x＜1，则m′(x)＜0， 因而m(x)在（a，-2）上单调递增，在（-2，1）上单调递减； (2)当a=-2时；m′(x)≤0，m(x)在（-2，1）上单调递减； 综合(1)、(2)知，当a≤-2时，m(x)在[a，1]上的最大值为m（-2）=-4a 2 -12a-8， 所以， ，③ 又对x∈[a，1]，m(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得， 亦即h′(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得． 因此，当a≤-2时，h(x)在[a，1]上为减函数， 从而由①，②， ③知，-3≤a≤-2； 综上所述，存在a，使g(x)在[a，-a]上为减函数，且a的取值范围为[-3，-2]．

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