已知数列{an}的前n项和为sn，且a1=1，nan+1=（n+2）sn （n∈N*）．（1）求证：数列{snn}为等比数列；（2

已知数列{an}的前n项和为sn，且a1=1，nan+1=（n+2）sn （n∈N*）．（1）求证：数列{snn}为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式及前n项和sn；（3）若数列{bn}满足：b1=12，bn+1n+1=bn+snn （n∈N*），求数列{bn}的通项公式．

（1）证明：将an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=（n+2）Sn；
整理得
sn+1
n+1 ＝2?
sn
n  （n∈N?）．
又由已知
s1
1 =1，
所以数列{
sn
n }是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）的结论可得
sn
n =2n-1，∴Sn=n?2n-1
当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=n?2n-1-（n-1）?2n-2=（n+1）?2n-2
由已知，a1=1，又当n=1时，（n+1）?2n-2=1，
∴an=（n+1）?2n-1（n∈N*）．
（3）由
bn+1
n+1 =
bn+sn
n （n∈N*）．
得
bn+1
n+1 =
bn
n +2n-1，
由此式可得
bn
n ＝
bn?1
n?1 +2n?2，

bn?1
n?1 ＝
bn?2
n?2 +2n?3，
…

b3
3 ＝
b2
2 +21，

b2
2 ＝
b1
1 +20
把以上各等式相加得，

bn
n ＝b1+2+22+…+2n?2=2n?1?
1
2

na(n+1)=(n+2)sn n(sn+1-sn)=(n+2)sn nsn+1=2(n+1)sn sn+1/(n+1)=2sn/n 所以{sn/n}是2为公比的等比数列

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