设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{an}满足a1＞c1

设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{an}满足a1＞c1p，an+1=p?1pan+cpan1-p．证明：an＞an+1＞c1p．

证明：（Ⅰ）令f（x）=（1+x）p-（1+px），则f′（x）=p（1+x）p-1-p=p[（1+x）p-1-1]．
①当-1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p-1＞0，∴（1+x）p-1＜（1+x）0=1，
∴（1+x）p-1-1＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，0]上为减函数，
∴f（x）＞f（0）=（1+0）p-（1+p×0）=0，即（1+x）p-（1+px）＞0，
∴（1+x）p＞1+px．
②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p-1＞（1+x）0=1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴（1+x）p＞1+px．
综合①、②知，当x＞-1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．
（Ⅱ）先证an+1＞c
1
p ．
∵an+1=
p?1
p an+
c
p an1-p，∴只需证
p?1
p an+
c
p an1-p＞c
1
p ，
将
p?1
p 写成p-1个
1
p 相加，上式左边=
1
p an+
1
p an+…+
1
p an+
c
a 1?p
n

p ≥p
p

a p?1
n

pp?1 ?
c
a 1?p
n

p

＝c
1
p ，
当且仅当
an
p ＝
c
a 1?p
n

p ，即an＝c
1
p 时，上式取“=”号，
当n=1时，由题设知a1＞c
1
p ，∴上式“=”号不成立，
∴





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