三角形ABC，AC=BC,AC垂直BC,D为BC中点，CF垂直AD于E,BF平行AC，证明AB垂直平分DF

三角形ABC，AC=BC,AC垂直BC,D为BC中点，CF垂直AD于E,BF平行AC，证明AB垂直平分DF

证明：∵AC=BC,AC⊥BC

∴△ACB是等腰直角三角形，∠ABC=45°

∵BF∥AC

∴BF⊥BC

∴∠ABF=45°=∠ABC

∵在Rt△CDE中，∠DCE+∠ADC=90°

在Rt△ACD中,∠CAD+∠ADC=90°

∴∠CAD=∠DCE=∠BCF

同理,在Rt△BCF中，∠BCF+∠BFC=90°

∴∠BFC=∠ADC

∴△ACD≌△CBF

∴CD=BF=BD

∴△DBF是等腰直角三角形

又∵∠ABF=∠ABD

∴AB是等腰直角△DBF的角平分线，即AB是DF的垂直平分线 （三线合一）

自己有图卅

∠CAD+∠ADC=90°

∵CF⊥AD

∴∠BCF+∠CDE=90°

∴∠CAD=∠BCF 又BC=AC

∵BF∥AC

∴∠CAB=∠CFB=45°∠ACB+∠CBF=180° 又∠ACB=90°

∴∠CBF=90°

又∠CAD=∠BCF BC=AC

∴△ACD≌△CBF

∴CD=BF,又D为BC中点，∴BD=CD

∴BD=BF

又∵∠CBF=90°，∴∠BFD=45° 又∠ABF=45°

∴∠BMF=90° （假设DF和AB的交点为M）

∴AB⊥DF

又BD=BF 所以 AB垂直平分DF

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