设L是一条平面曲线，其上任意一点P（x，y）（x＞0）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，

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解决时间 2021-01-30 18:07

提问者网友：贪了杯
2021-01-29 17:18

设L是一条平面曲线，其上任意一点P（x，y）（x＞0）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L过点(12， 0)．求曲线L的方程．

最佳答案

五星知识达人网友：一叶十三刺
2021-01-29 18:12

由题意，L在点P的切线方程为：Y-y=Y′（X-x）
因此，它在y轴上的截距为y-xY′
∴

x2+y2 ＝y?xY′（x＞0）
∴
dy
dx ＝
y
x ?

1+(
y
x )2
这是齐次方程，令u＝
y
x ，则
dy
dx ＝u+x
du
dx
∴x
du
dx ＝?

1+u2
解得：?ln(u+

1+u2 )＝?lnx+ln|C|
即u+

1+u2 ＝Cx
将u＝
y
x 代入，得
y+

x2+y2

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1楼网友：神鬼未生
2021-01-29 19:08

解：设曲线l的方程为y=y(x),x>0 则其上任一点p（x,y）处切线方程为： y-y=y'*(x-x)，令x=0，得y轴上的截距为b=y-xy' 于是有： √(x^2+y^2)=y-xy' 两边平方得 x^2+y^2=y^2-2xyy'+x^2*y'^2 y'^2-2*y/x*y'-1=0 解得y'=y/x+√[(y/x)^2+1]或y'=y/x-√[(y/x)^2+1] 考虑到x>0，且y-xy'≥0，故y'≤y/x，故只能取 y'=y/x-√[(y/x)^2+1] 令y/x=z，则y=xz，y'=z+xz'，故 z+xz'=z-√(z^2+1) 得z'/√(z^2+1)=-1/x 两边分别积分，得 √(z^2+1)=-ln|x|+c 得z^2=(c-ln|x|)^2-1 y=xz=x√[(c-ln|x|)^2-1]或y=-x√[(c-ln|x|)^2-1] 考虑恒过点a(0.5,0)，则过该点时切线在y轴上的截距为0.5，也即当x=0.5时，必有y'=-1<0，故：当x≥1/2时，只能取y=-x√[(c-lnx)^2-1]；当0

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