求证:1+x+x^2+...+x^15=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)

答案:3 悬赏:80 手机版

解决时间 2021-01-17 17:48

提问者网友：世勋超人
2021-01-17 12:33

最佳答案

五星知识达人网友：十鸦
2021-01-17 13:30

(1+x+x^2+...+x^15)×(1-x)=1+x+x^2+...+x^15-(x+x^2+...+x^16)=1-x^16
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)×(1-x)=(1-x^2)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)=(1-x^4)(1+x^4)(1+x^8)=1-x^16
∴(1+x+x^2+...+x^15)×(1-x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)×(1-x)
当x≠1时，1+x+x^2+...+x^15=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)
当x=1时，代入1+x+x^2+...+x^15=16和(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)=16，即
1+x+x^2+...+x^15=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)

全部回答

1楼网友：青尢
2021-01-17 15:14

左边每两项为一组，提出（1+X）得：
（1+x）+(1+x)*X^2+(1+x)*x^4+...+(1+x)*x^14=（1+x）(1+X^2+X^4+...+x^14)
接着括号中提（1+x^2）,同理即可

2楼网友：有你哪都是故乡
2021-01-17 14:59

=1＋X+X^2(1+X)+X^4(1+X)+X^6(1+X)+X^8(1+X)+X^10(1+X)+X^12(1+X)合并同类项1＋X
＝(1+X)[1＋X^2+X^4(1+X^2)+X^6(1+X^2)+X^8(1+X^2)+X^12(1+X^2)]合并同类项1＋X^2
=(1+X)(1+X^2)[1+X^4+X^8(1+X^4)]合并同类项1＋X^4
＝=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)

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