两道等比数列题

1.已知数列{an}满足a（n+1）=1/3an+2/3,a1=2求an

2.是否存在数列{an}使得灯饰a1+2a2+3a3+……+nan=1/4[3^n(2^n-1)+1]对于任意正整数n恒成立，若存在求其通项公式若不存在说理由

1.设an+1-k=1/3(an-k)

∴an+1=1/3an+2k/3=2/3

∴k=1

∴数列{an-k}是以a1-1=1为首项，1/3为公比的等比数列

∴an-1=1×(1/3)^(n-1)

∴an=(1/3)^(n-1)+1

2.a1+2a2+3a3+..+(n-1)a(n-1)
=1/4[3^(n-1)(2(n-1)-1)+1]
=1/4[3^(n-1)(2n-3)+1]..............(1)
a1+2a2+3a3+..+(n-1)a(n-1)+nan
=1/4[3^n(2n-1)+1]...............(2)
(2)-(1):
nan=1/4[3^n(2n-1)+1]-1/4[3^(n-1)(2n-3)+1]
=1/4[3^n(2n-1)-3^(n-1)(2n-3)]
an=(1/4n)[3^n(2n-1)-3^(n-1)(2n-3)]

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