椭圆方程 x2/4+y2/3=1 A(1,3/2) E.F是椭圆上的两个 动点 如果AE与AF的斜率互为相反数 证明EF的斜率为定值

椭圆方程 x2/4+y2/3=1  A(1,3/2) E.F是椭圆上的两个 动点  如果AE与AF的斜率互为相反数 证明EF的斜率为定值

小子，又有问题啦。

解：

由图，证明EF斜率为定值，则先排除EX斜率不存在这一情况，当EF斜率不存在时，直线EF即：X=N

不存在。故舍。

当EF斜率k存在时，设EF点斜式方程为:y-m=k（x-n）

有K1=（y1-3/2）/（X1-1）

   K2=  ( y2-3/2)  /  (X2-1)

如果AE与AF的斜率互为相反数，则k1=-k2即（y1-3/2）/（X1-1）=-( y2-3/2)  /  (X2-1)

化简上式，

联立椭圆方程与直线方程，消去y，可得关于x的二次方程（下出用韦达定理）

且x1，y1；x2，y2满足椭圆方程，把y1，y2；用x1，x2表示，

则方程里只有x1*x2项和x1+x2项，（此处用韦达定理，）

即可解出k来

其实对于所有解析几何题，只要根据题设列出方程，然后用“设而不求”的方法，就都能解出来

由题设，可假设椭圆方程为x^2/3a^2+y^2/a^2=1，因为直线y=x与其相交于两点，解方程组，可得交点坐标为：(√3/2 a, √3/2 a)和(-√3/2 a, -√3/2 a)用勾股定理或直角坐标系下两点间距离公式，求得OA=√6/2 a又：OC=√3 aOC*OA=1.5所以√3 a*√6/2 a=1.5解得a^2=√2/2故椭圆方程为：x^2/3√2/2+y^2/√2/2=1 (2)看不懂，不知道要求什么= =

椭圆的顶点是（0，±√3）、（±2，0）； 标出A（1，3／2），点A在椭圆上,并连接AE、AF  设AE的斜率为k（k≠0），则AF的斜率为－k。（若k=0，则E、F为同一点，不符合题意） 又AE、AF经过A（1，3／2） ∴直线AE的方程为：y-3／2 = k（x-1）  ①     直线AF的方程  y-3／2 =－k（x-1）  ②   又椭圆方程为 x^2／4＋y^2／3 = 1 ，分别联立①、②并化简得： （4k^2+3）x^2 +（－8k^2+12k）x +（4k^2-12k-3）=  0    ③ （4k^2+3）x^2 -（8k^2＋12k）x +（4k^2+12k-3）=  0    ④ ∴由③得：（x-1）*[（4k^2+3)x -（4k^2-12k-3）] =  0 ∴x = 1 或 x=（4k^2-12k-3）／（4k^2+3） (1）当x=1时，y=3／2，显然是点A（1，3／2） (2）当x=（4k^2-12k-3）／（4k^2+3）时，y=（3／2）-（12k^2+6k）／（4k^2＋3） 即：点E[（4k^2-12k-3）／（4k^2+3），（3／2）-（12k^2+6k）／（4k^2+3）] ∴由④得：（x-1）*[（4k^2+3)x-（4k^2+12k-3）] = 0 ∴x = 1 或 x=（4k^2+12k-3）／（4k^2+3） 1）当x=1时，y=3／2，显然是点A（1，3／2） 2）当x=（4k^2+12k-3）／（4k^2+3）时，y=（3／2）-（12k^2－6k）／（4k^2+3） 即：点F[（4k^2+12k-3）／（4k^2+3），（3／2）-（12k^2-6k）／（4k^2+3）] ∴EF的斜率k  = { [（3／2）-（12k^2-6k）／（4k^2＋3））]-[（3／2）-（12k^2+6k）／（4k^2+3）]}/{[（4k^2+12k-3）／（4k^2+3）]-[（4k^2-12k-3）／（4k^2+3）]} =[12k／（4k²＋3）]/[24k／（4k²+3）]     又k≠0 ∴EF的斜率k=1／2   ， 即EF的斜率为定值1／2。

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