怎样利用极限定义证明数列的极限

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用极限定义证明数列极限的关键是:
1、对Πε>0,都能找到一个正整数N,当n>N时,有|an-a|<ε成立・这里的Πε>0,由证题者自己给出・因此,关键是找出N・那么,如何寻找N呢?
2、显然,要寻找的N,一定要满足当n>N时,有|an-a|<ε成立・而|an-a|可以看成是关于正整数n的函数,我们可以通过求解不等式|an-a|<ε,找到使|an-a|<ε成立,n所要满足的条件,亦即不等式|an-a|<ε的解集・该解集是自然数集N的无限子集・对同一个ε,N并不惟一。
3、因此,只需在该解集找出一个作为N即可・这样寻找N的工作就转化成求解不等式|an-a|<ε的问题了。

|求证：lim(n->∞) sinn/n = 0 证明： ① 对任意 ε>0 , ∵ |sinn|≤ 1 ∴要使 | sinn/n - 0| < ε 成立， 即只要满足：| sinn/n - 0|=| sinn/n |≤ 1/n < ε， 即只要：n > 1/ε 即可。 ② 故存在 n = [1/ε] ∈n ③ 当 n>n 时， ④ 恒有：|sinn/n - 0 | < ε 成立。 ∴ lim(n->∞) sinn/n = 0

用定义证明数列极限存在的关键是:对Πε>0,都能找到一个正整数N,当n>N时,有|an-a|0,由证题者自己给出・因此,关键是找出N・那么,如何寻找N呢?显然,要寻找的N,一定要满足当n>N时,有|an-a

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