完全剩余系的性质

完全剩余系的性质

对于一个给定的模，我们就可以把对模 同余的所有数放在一起，即把除以 后有相同余数的数放在一起，这就产生了剩余类的概念。　　剩余类及完全剩余系的定义??在给出定义之前，我们先证明一个重要结果。??定理1　设 是一个给定的正整数，则全部整数可以分成 个集合，记作　　　　　　　　　　　　　，　　其中是由一切形如的整数所组成的，这些集合具有下列性质：　　（i） 每一整数必包含在而且仅包含在上述的一个集合里面；　　（ii） 两个整数同在一个集合的充要条件是这两个整数对模 同余。??证明?（i）设 是任一整数，由带余数除法得。故 在内。??又由带余数除法知， 由 唯一确定，故 只能在内。??（ii）设，是两个整数，并且都在内，则。??故≡（），反之若≡（），则由同余的定义知， 同在某个一个内。??定义　我们把定理１中的叫做模的剩余类。若是个整数，并且其中任何两个都不在同一个剩余类里，则称为模的一个完全余剩余系。由定理１和上面的定义，可得??推论　个整数作成模的一个完全剩余系的充分必要条件是这个数两两对模不同余。??例：设为正整数，则???；???；???；都是模的完全剩余系。　　完全剩余系的性质??定理２　设是正整数，（，）＝１，是任一整数，若通过模的一个完全剩余系，则＋也通过模的一个完全剩余系，也就是说，若是模的一个完全剩余系，则也就是模的一个完全剩余系。??证　由推论，只须证明个整数两两对模不同余就够了。??假设。则由同余的性质得，又由同余性质及（，）＝１得，这与是模的一个完全剩余系矛盾，定理获证。??定理３　若是两个互质的正整数，而分别通过模的完全剩余系，则通过模的一个完全剩余系。??证　由假设分别通过个整数，因此通过个整数，由推论，只须证明这个整数两两对模不同余即可。??假定????????（１）　其中是所通过的完全剩余系中的整数，而是所通过的完全剩余系中的整数，由同余的性质得???　　　　　　???　　　　　　??又由同余的性质及 即得，。由推论得。这表明如果与不全相同时，（１）式即不成立，因此定理获证。??在本部分最后，我们给出几个今后要用到的特殊名词。??定义 这个整数叫模的最小非负完全剩余系；当为偶数时，或叫模的绝对最小完全剩余系；当为奇数时，叫模的绝对最小完全剩余系。

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