已知圆C:x²+y²-6mx-2(m-1)y+10m²-2m-24=0,求证：无论m为何值，圆心都在同一条直线上
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解决时间 2021-03-01 01:34
- 提问者网友：鼻尖触碰
- 2021-02-28 12:36
第二问：设直线的方程为x-3y+2=0，求证：L与圆C相交所得弦长为定值。
最佳答案
- 五星知识达人网友：我住北渡口
- 2021-02-28 13:35
1、就是个化简
x^2-6mx+(3m)^2+y^2-2(m-1)y+(m-1)^2-9m^2-m^2+2m-1+10m^2-2m-24=0
(x-3m)^2+[(y-(m-1)]^2=5^2
圆心(3m,m+1)
m=0,xo=0,yo=1
任意m',xom'=3m',yom'=m'+1
(yom'-yo)/(xom'-xo)=m'/3m'=1/3=常数
即，圆心始终在直线y-1=x/3上
2、
y=(x+2)/3,L//圆心所在直线方程
L与y=1+x/3的距离=常数=|0-3*1+2|/√10=√10/10
圆的半径不变
弦长=2√（5^2-1/10）=2√（249/10）
x^2-6mx+(3m)^2+y^2-2(m-1)y+(m-1)^2-9m^2-m^2+2m-1+10m^2-2m-24=0
(x-3m)^2+[(y-(m-1)]^2=5^2
圆心(3m,m+1)
m=0,xo=0,yo=1
任意m',xom'=3m',yom'=m'+1
(yom'-yo)/(xom'-xo)=m'/3m'=1/3=常数
即，圆心始终在直线y-1=x/3上
2、
y=(x+2)/3,L//圆心所在直线方程
L与y=1+x/3的距离=常数=|0-3*1+2|/√10=√10/10
圆的半径不变
弦长=2√（5^2-1/10）=2√（249/10）
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- 1楼网友：傲气稳了全场
- 2021-02-28 14:33
解：x²+y²-6mx-2(m-1)y+10m²-2m-24=0
(x-3m)²+(y-m+1)²=25
则圆心坐标(3m,m-1)
m=1,(3,0),m=0,(0,-1)
设y=kx+b经过点(3,0),(0,-1)
则k=1/3，b=-1
∴y=x/3-1
把x=3m代入，
3m/3-1=m-1=y
∴圆心都在直线y=x/3-1上
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