抛物线的一道题

已知L为抛物线y^2=2px（p>0）的准线，AB为过焦点F的弦，M为AB的中点，过M作直线L的垂线，垂足是N，MN交抛物线于点P，求证：点P必平分线段MN。

　过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有

　　① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2

　　② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2]

　　③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P

　　④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）

　　⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）

　　⑥弦长公式：AB=x1+x2+p

　　⑦△=b^2-4ac

　　⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根

　　⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根

　　⑶△=b^2-4ac<0没实数根

　　⑧由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。

证明：设A（x1，y1）B（x2,y2）

则可推出M点坐标为（x1/2+x2/2，y1/2-y2/2）这是个简单的推理证明自己推算

由于MN是过P点做L的垂线，所以P点的纵坐标为y1/2-y2/2

得横坐标为（y1-y2）^2/8p

所以PN的距离为（y1-y2）^2/8p+p/2

PM的距离为(x1+x2)/2-(y1-y2)^2/8p=(y1+y2)^2/8p

只需证明2p^2=|2y1y2|就可以了由抛物线的相关结论得2p^2=|2y1y2|

所以PN=PM

以上y1 y2 x1 x2的相关计算为绝对指计算，所以证明过程中应加绝对值计算符号，由于这里书写不方便，所以不逐一添加

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